INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE Y TÉCNICA

               “CIUDAD DEMERCEDES” - D.I.E.G.E.P. 4494 

  SECCIÓN: PROFESORADO DE MATEMÁTICA.

         Espacio: 

    TOPOLOGÍA

                     Horas semanales:  3

                     Curso: Tercer Año

                     Profesor: MIRIAM ESTELA BARCOS

                     Período Lectivo: 2001

 

         

 

I.                  EXPECTATIVAS DE LOGRO

 

1.      Análisis de las funciones topológicas como paso final del estudio del programa de Erlangen de Klein, destacando sus aplicaciones en la Matemática, especialmente en el Análisis Matemático.

2.      Comprensión del significado del concepto de conjunto mediante la clasificación y las propiedades de los conjuntos infinitos.

3.      Reconocimiento de pensamiento lógico como premisa primordial para todo tipo de razonamiento matemático superando los conceptos intuitivos y algunos hábitos mentales.

4.      Demostración rigurosa de teoremas fundamentales del Análisis Matemático.

5.      Conocimiento de la repercusión de los estudios topológicos en los fundamentos de la Matemática.

6.      Demostración de propiedades de los conjuntos transfinitos a partir de la formulación de conjeturas y/o hipótesis.

  

II.       CONTENIDOS

 

A.        CONTENIDOS CONCEPTUALES:

 

 

TEMA I

 

Introducción histórica. Fórmula de Euler. El programa de Erlangen de Klein. Propiedades topológicas: transformaciones topológicas. Figuras topológicamente equivalentes. Deformaciones y transformaciones topológicas. Conexión. Ejemplo de un teorema topológico: El problema de los cuatro colores.

 

Bibliografía: Courant, Richard y Robbins Herbert (l962): ¿Qué es la Matemática?. Aguilar. Madrid. Cap. V: pag. 247 a 128.

Trejo, César ( 1977): Matemática Elemental Moderna. EUDEBA Bs.As.

 

TEMA II

 

Conjuntos numerables y no numerables. Funciones biyectivas. Conjuntos equipotentes.. Conjuntos numerables. La potencia del continuo.

Operaciones con números cardinales. Adición y Multiplicación. Potenciación. Teoremas de Cantor de la Potenciación. Desigualdad entre cardinales. Teorema de Schröder-Cantor-Bernstein.

 

Bibliografía: Lipschutz, Seymour (1969): Teoría de Conjuntos y Temas Afines. McGraw-Hill. Colombia. Cap. 9.

Rudin, Walter (1977): Principios de Análisis Matemático. McGraw-Hill. México. Cap. 2

 

 

TEMA III

 

Topología de la Recta y el plano. La recta real. Conjuntos abiertos. Punto de acumulación. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Conjuntos cerrados. Teorema de Heine-Borel. Conjuntos compactos. Sucesiones. Sucesiones convergentes. Subsucesiones. Sucesiones de Cauchy. Completitud. Funciones continuas. Topología del plano.

 

Bibliografía:  Rudin Walter ( 1977): Principios de Análisis Matemático McGraw-Hill. México. Cap.2

 

 

TEMA IV

 

Espacios topológicos. Definiciones: Punto adherente, punto exterior, punto interior, punto frontera, punto aislado y punto de acumulación.

Conjuntos abiertos y cerrados. Interior, clausura y frontera de un conjunto. Conjuntos conexos. Conjuntos compactos. Espacio topológico mediante los axiomas de entorno. Espacio topológico mediante los conjuntos abiertos.

 

Bibliografía:  Rudin Walter ( 1977): Principios de Análisis Matemático McGraw-Hill. México. Cap.2

Trejo, César ( 1977): op citada pag 419 a 427.

Fleitas Morales, G y Margalef Roig, J (1980): Problemas de Topología General. Editorial Alhambra. España. Cap. 1.

 

 

TEMA V

Base y sub-base de una topología. Continuidad y equivalencia topológicas.

Base y sub –base de un topología.

Aplicaciones entre espacios topológicos. Homeomorfismos. Aplicación continua.

 

Bibliografía: Fleitas Morales, G y Margalef Roig, J (1980): Problemas de Topología General. Editorial Alhambra. España. Cap. 1 y 3.

 

TEMA VI

 

Espacios métricos. Primeros conceptos. Abiertos y cerrados. Espacios completos. Convergencia en los espacios métricos. Conjuntos conexos. Conjuntos compactos. Funciones entre espacios métricos.

Bibliografía: Rudin Walter ( 1977): Principios de Análisis Matemático McGraw-Hill. México. Cap.2

 

Fleitas Morales, G y Margalef Roig, J (1980): Problemas de Topología General. Editorial Alhambra. España. Cap. 5,6 y 7.

 

 

 

TEMA VII

 

Espacios compactos. Propiedades. Aplicaciones continuas de espacios compactos. Producto cartesiano de espacios compactos. Producto cartesiano de espacios compactos. El conjunto de Cantor. Aplicaciones continuas del conjunto de Cantor. Espacios bicompactos.

Bibliografía: Fleitas Morales, G y Margalef Roig, J (1980): Problemas de Topología General. Editorial Alhambra. España. Cap. 4.

 

 

TEMA VIII

 

Espacios conexos. Propiedades. Componentes. Espacios localmente conexos. Trayectorias. Conjuntos arco-conexos. Trayectorias homológicas. Espacios simplemente conexos. Homotopía.

Bibliografía: Fleitas Morales, G y Margalef Roig, J (1980): Problemas de Topología General. Editorial Alhambra. España. Cap. 5.

 

 

TEMA IX

 

Espacios de funciones. Convergencia puntual de una sucesión de funciones. Convergencia uniforme de una sucesión de funciones. Convergencia puntual de una serie de funciones. Teorema de Weierstrass. Teorema de Stone- Weierstrass. Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de una serie de funciones.

Bibliografía: Rudin Walter ( 1977): Principios de Análisis Matemático McGraw-Hill. México. Cap.7

 

 

B.         CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

 

Procedimientos vinculados con la resolución de problemas:

 

·        Modelizar situaciones problemáticas a través de materiales, dibujos, diagramas, fórmulas, ecuaciones.

·        Análisis de las estrategias de resolución de problemas, las formas de validación y el valor del control de los resultados por métodos alternativos.

 

Procedimientos vinculados con el razonamiento:

 

·        Formulación de argumentos matemáticos lógicos que avalen o desaprueben razonamientos o toma de decisiones.

 

Procedimientos vinculados con la comunicación:

 

·        Leer, escribir y hablar el lenguaje de la matemática como medio de clarificar, vigorizar y consolidar el pensamiento y hacerlo comprensivo a los demás.

 

·        Localización, lectura e interpretación de información matemática presentada en forma oral, escrita y visual.

 

C.               CONTENIDOS ACTITUDINALES

 

   DESARROLLO PERSONAL:

1.      Autonomía y creatividad en la búsqueda de soluciones a los problemas.

2.      Disciplina, esfuerzo y constancia como necesarios en los quehaceres científico y docente.

  DESARROLLO SOCIO COMUNITARIO:

1.      Cooperación y toma de responsabilidades en su tarea diaria.

2.      Disposición para el trabajo grupal y cooperativo como forma de incentivar la solidaridad.

3.      Valoración de la tolerancia y el pluralismo de ideas como requisitos tanto para el debate científico como para la participación en la vida institucional.

 

   DESARROLLO DEL CONOCIMIENTO CIENTIFICO TECNOLOGICO:

1.      Valoración crítica de las informaciones obtenidas en la bibliografía específica.

 

III.           ESTRATEGIAS

 

Se desarrollarán distintas propuestas didácticas que proporcionen al alumno experiencias de aprendizaje, que contribuyan tanto a la adquisición de saberes como a su formación docente.

 

La resolución de problemas como estrategia básica:

 

 

·        Planteo y resolución de problemas, énfasis en los procesos, las estrategias de resolución y la construcción de significaciones.

 

·        Estrategias heurísticas que contemplen la planificación y resolución de situaciones problemáticas (descubrimiento de regularidades geométricas y numéricas, elaboración de conjeturas, demostración...)

 

·        Trabajos de reflexión histórica, destacando la forma peculiar de aparecer las ideas en topología, enmarcándolas temporal y espacialmente junto con sus motivaciones y pensadores.

 

·        Trabajo de investigación (laboratorio en grupo) para cultivar básicamente los contenidos procedimentales y de valores grupales (comunicación, cooperación, socialización, etc)

 

·        Utilización de la computadora y el software matemático, como herramienta para el acceso, el procesamiento y la comunicación de la información.

I.                  PRESUPUESTO DE TIEMPO

 

Primer cuatrimestre:

Segundo cuatrimestre:

 

II.               EVALUACION

 

Se realizará durante el curso una evaluación de seguimiento, considerando la evaluación como un proceso de diálogo, comprensión y mejora.

 

A partir de un registro se recogerá información del desempeño del alumno:

 

·        Producciones de investigación.

 

·        Manejo de diferentes fuentes de información (búsqueda, selección, organización, relaciones, integración)

 

·        Resolución de actividades mediante el uso de Internet y correo electrónico.

 

·        Resolución de situaciones problemáticas.

 

·        Uso de vocabulario, y el lenguaje matemático.

 

·        Disposición para el trabajo cooperativo.

 

·        Participación en acciones institucionales.

 

Teniendo  como referente las expectativas de logro, se elaborarán y discutirán con los alumnos criterios de evaluación.

 

Este trabajo compartido posibilitará la intervención del alumno, favoreciendo su proceso de autoevaluación.

 

Con la información obtenida se elaborarán dos informes cuatrimestrales.

 

Esto constituirá una base para la toma de decisiones necesaria para la acreditación.

 

El proyecto de compensación se elaborará en forma conjunta con los alumnos.