INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE Y TÉCNICA

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INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE Y TÉCNICA

“CIUDAD DEMERCEDES” - D.I.E.G.E.P. 4494

SECCIÓN: PROFESORADO DE MATEMÁTICA.

ESPACIO DE LA ORIENTACIÓN AREAL: FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA

ASIGNACIÓN HORARIA: 96 hs. reloj anuales.

CURSO: CUARTO AÑO.

PROFESOR: BORRAJO, HERNÁN

PERÍODO LECTIVO: 2003.

Expectativas de logro: 1) Conocimiento de la evolución de la lógica matemática. 2) Conocimiento de la evolución de los sistemas axiomáticos. 3) Conocimiento de las características de los sistemas axiomáticos. 4) Aplicación de los conocimientos de los fundamentos de la Matemática al análisis de los programas, la planificación de la tarea docente y las propuestas editoriales. 5) Conocimiento de las limitaciones de la Matemática y de los sistemas axiomáticos. 6) Comprensión de las ideas fundamentales y de las tendencias que animan y que animaron a las distintas escuelas matemáticas. 7) Conocimientos de los criterios usados para analizar un sistema axiomático. 8) Valoración en la expresión oral y escrita.

CONTENIDOS CONCEPTUALES:

UNIDAD UNO: LÓGICA, LINGÜÍSTICA Y EVOLUCIÓN DE LA LÓGICA.

a) Lógica y lingüística: * Lenguajes naturales y lenguajes formales: Propiedades. * Lenguaje e inferencia lógica. * Lógica y sistemas formales: Semántica y sintaxis. Lenguaje y sistemas formales. b) Lógicas clásicas y no clásicas: * Lógica de proposiciones: Sintaxis, semántica, inferencia y validez en los esquemas de sencencias. Axiomas de la lógica de proposiciones. * Lógica modal: Sintaxis y semántica. Ejemplos: Lógicas alética, temporal y dinámica. * Lógica difusa (o de los subconjuntos borrosos): Introducción. Conceptos básicos: Conjuntos difusos; conceptos imprecisos. Operaciones. Las etiquetas lingüísticas y operadores. c) Lógica de primer orden: Sintaxis, semántica, formas (normal Prenex, estándar de Skolem). Axiomas para la lógica de primer orden. Teorema de Herbrand. Árboles semánticos.

Bibliografía:

a) De consulta obligatoria: * Muro, María; Muro, Julio: "Lógica Moderna y Filosofía"; Edit. Estrada - Buenos Aires (1985). * Dou, Alberto: "Fundamentos de la Matemática"; Nueva Colección Labor-Barcelona (1970). * Chapa Vergana, S.: "Introducción a la Lógica Matemática"; http://www.cs.cinvestav.mx/SC/publica/chapa/intro_lm/logica1.html - México (1999). * Chapa Vergara, S.: "Lógica Difusa"; http://delta.cs.cinvestav.mx/red/logica/node196.html ; México (1999).

b) De consulta factultativa: * Bochenski,J.M.: "Compendio de Lógica Matemática"; Paraninfo - Madrid (1982). * de Lorenzo, Javier: "La matemática: De sus fundamentos y crisis"; Tecnos - Madrid (1998). * Hernández, P.J.; Rojo, Armando; Rabuffetti, H.; S. de Hernández, M. E.: "Conceptos Básicos de Mátemática Moderna"; Codex-Buenos Aires (1966).

UNIDAD DOS: AXIOMÁTICA Y SISTEMAS AXIOMÁTICOS

a) El método axiomático: Caracterización. Ejemplos. b) Propiedades de los sistemas axiomáticos: Equivalencia, compatibilidad, independencia, completitud y categoricidad. c) Aplicaciones: Definición axiomática de los números naturales y de los números enteros. Aplicaciones a la geometría: La axiomática de Euclides.

Bibliografía:

a) De consulta obligatoria: * Hernández, P.J.; Rojo, Armando; Rabuffetti, H.; S. de Hernández, M. E.: "Conceptos Básicos de Mátemática Moderna"; Codex-Buenos Aires (1966). * Dou, Alberto: "Fundamentos de la Matemática"; Nueva Colección Labor-Barcelona (1970).

b) De consulta facultativa: * Bochenski,J.M.: "Compendio de Lógica Matemática"; Paraninfo - Madrid (1982). * de Lorenzo, Javier: "La matemática: De sus fundamentos y crisis"; Tecnos - Madrid (1998). * Muro, María; Muro, Julio: "Lógica Moderna y Filosofía"; Edit. Estrada - Buenos Aires (1985).

UNIDAD TRES: EL LOGICISMO

a) Logificación del concepto de número. b) Paradojas: Concepto. Paradojas famosas: De Cantor; de Russel; de Burali-Forti; del conjunto de todos los números cardinales; de la familia de todos los conjuntos equipotentes a un conjunto dado; la de la familia de todos los conjuntos isomorfos a un conjunto bien ordenado. Conclusiones. Usos de las paradojas: Pasatiempos matemáticos. c) El logicismo: El principio del círculo vicioso; la reducción de los términos matemáticos a los términos lógicos; la teoría de los tipos; las dificultades del logicismo; la reducción lógica de los teoremas.

Bibliografía:

a) De consulta obligatoria: * Dou, Alberto: "Fundamentos de la Matemática"; Nueva Colección Labor-Barcelona (1970). * "Paradojas matemáticas"; http://www.mor.itesm.mx/~al371955/paradojas.htm - España (1999) * "Ensayo sobre las Paradojas de la Teoría de Conjuntos"; http://www.mor.itesm.mx/~al371955/paradojas.htm - México (1999)

b) De consulta facultativa: * Muro, María; Muro, Julio: "Lógica Moderna y Filosofía"; Edit. Estrada - Buenos Aires (1985).

UNIDAD CUATRO: EL FORMALISMO

a) El proceso de axiomatización: Introducción; axiomatización material; axiomatización formal. b) El Programa de Hilbert: Elaboración del sistema formal; teoría de la demostración; metamatemática.

Bibliografía:

a) De consulta obligatoria: * Dou, Alberto: "Fundamentos de la Matemática"; Nueva Colección Labor-Barcelona (1970). * de Lorenzo, Javier: "La matemática: De sus fundamentos y crisis"; Tecnos - Madrid (1998).

b) De consulta facultativa: * Muro, María; Muro, Julio: "Lógica Moderna y Filosofía"; Edit. Estrada - Buenos Aires (1985).

UNIDAD CINCO: LA TEORÍA FORMAL DE LOS NÚMEROS

a) Introducción. b) Teoría formal de primer orden: Símbolos y fórmulas; variables ligadas y libres; reglas de inferencia y teoremas; teorías formales de primer orden con igualdad. c) Definición de la teoría y su potencia formalizadora: Los axiomas propios; interpretación estandarizada; modelos; extensión del modelo. d) Aritmetización de la metamatemática: Funciones y relaciones de la teoría de números; funciones y relaciones recursivas; números de Gödel; funciones representables y funciones expresables. e) El teorema de incompletitud de Gödel: La consistencia fuerte; completitud; construcción de una fbh indecidible; relación con las paradojas; el teorema de incompletitud de Gödel; prolongación del sistema S; indemostrabilidad de la consistencia.

Bibliografía:

b) De consulta factultativa: * Stewart, I: "De Aquí al Infinito"; Grijalbo-Mondadori - Barcelona (1998).

UNIDAD SEIS: EL INTUICIONISMO

a) La matemática intuicionista: Desarrollo histórico; construcción mental como objeto de la matemática intuicionista; la intuición matemática; el número natural intuicionista; desarrollo inicial y extensión. b) La lógica intuicionista: Los conectivos; la negación; el principio del tercero excluído; axiomática intuicionista; el modelo de Kolmogorov; ejemplos de teoremas. c) Comparación con otras teorías: Con el logicismo; con el formalismo.

Bibliografía:

b) De consulta facultativa: * Stewart, I: "De Aquí al Infinito"; Grijalbo-Mondadori - Barcelona (1998).

UNIDAD SIETE: DESARROLLO HISTÓRICO DEL MÉTODO MATEMÁTICO

a) El período griego: Los fundamentos de la la matemática griega (el método propio; las entidades matemáticas; el testimonio de Platón). Otros aspectos (carácter necesario de las verdades matemáticas; el comienzo del razonamiento matemático; coherencia y profundidad de los Elementos; testimonio de Aristóteles; observaciones.) b) De Saccheri a Riemann: Historia del quinto postulado. Saccheri y su método. Independencia del quinto postulado: Nota histórica; la axiomatización de Hilbert. Bernardo Riemann y su geometría. Consecuencias para la fundamentación de las matemáticas: Diferencia entre los Elementos y los Fundamentos; la geometría y el mundo físico; el problema de la consistencia. c) Aritmetización del análisis: Introducción; la vuelta al rigor; el concepto de función; el continuo real según Cantor, Weierstrass y Dedekind.

Bibliografía:

b) De consulta facultativa: * Stewart, I: "De Aquí al Infinito"; Grijalbo-Mondadori - Barcelona (1998).

UNIDAD OCHO: LAS CRISIS ACTUALES

a) Los modelos del caos: Atractores, fractales y turbulencia. Caos determinista y caos probabilístico. b) Dimensiones no enteras: Dimensión topológica; fractales en la naturaleza; movimiento browniano; el conjunto de Mandelbrot. c) Matemática, computabilidad y tecnología: Las máquinas de Turing; las matemáticas experimentales; las relaciones con la ciencia aplicada. d) Conclusiones provisorias.

Bibliografía:

a) De consulta obligatoria: * Dou, Alberto: "Fundamentos de la Matemática"; Nueva Colección Labor-Barcelona (1970). * Stewart, I: "De Aquí al Infinito"; Grijalbo-Mondadori - Barcelona (1998).

b) De consulta facultativa: * de Lorenzo, Javier: "La matemática: De sus fundamentos y crisis"; Tecnos - Madrid (1998).

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES:

* Reconocimiento y análisis de sistemas lógicos formales, clásicos y no clásicos. * Reconocimiento y análisis de sistemas axiomáticos. * Construcción y análisis de sistemas axiomáticos sencillos. * Reconocimiento y análisis de situaciones paradojales y de proposiciones indecidibles. * Formulación de paradojas y de proposiciones indecidibles. * Análisis de las distintas corrientes de la fundamentación de la matemática: El logicismo, el formalismo y el intuicionismo. * Análisis del teorema de incompletitud de Gödel. * Análisis del desarrollo histórico del método matemático. * Reconocimiento y análisis de las crisis que afectan a la fundamentación de la matemática en la actualidad.

CONTENIDOS ACTITUDINALES:

* Reflexión sobre el propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente. * Consideración de la provisoriedad y evolución de los saberes. * Capacidad autónoma para resolver sus propios problemas. * Adaptación a los cambios de la ciencia y la cultura. * Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsqueda. * Curiosidad, apertura y duda. * Gusto por estrategias personales para resolver problemas. * Valoración de la matemática como construcción humana desde la invención empírica a lo formal. * Valoración de la historia y de sus creadores como toma de conciencia de la dependencia del momento, circunstacias sociales, ambientales, prejuicios, etc. que participaron en el desarrollo de la matemática. * Compromiso.

PRESUPUESTO DE TIEMPO:

PRIMER CUATRIMESTRE: Se desarrollarán las cuatro primeras unidades.

SEGUNDO CUATRIMESTRE: Se desarrollarán las cuatro últimas unidades.

ACTIVIDADES DE LOS ALUMNOS:

* Análisis de textos y documentos sobre Fundamentos de la Matemática. * Consulta de sitios de Internet sobre temas de Fundamentos de la Matemática. * Exposición de temas. * Elaboración de informes de clase en la computadora. * Elaboración de trabajos prácticos. * Confección de mapas y redes conceptuales.

EVALUACION DE LOS ALUMNOS:

a) Realización de trabajos prácticos: Se ha previsto la realización de tres trabajos prácticos a lo largo del año. Los mismos deberán ser presentados y, luego de corregidos, defendidos por los alumnos.

b) Exposición de temas teóricos: El alumno deberá defender sus trabajos prácticos en encuentros destinados especialmente a tal fin. La defensa consistirá en dos instancias: La primera, expositiva; la segunda, interrogativa por parte del docente a cargo de la materia.

c) Criterios de valoración de las producciones:

c.1) Potencia matemática: Capacidad de uso de las matemáticas; capacidad de razonamiento y análisis. c.2) . c.3) Comunicación de ideas matemáticas: Capacidad de expresión; utilización del lenguaje matemático. c.4) Razonamiento: Deductivo; analítico. c.5) Reconocimiento de conceptos; propiedades; diferencias; lineamientos teóricos y metateóricos. c.6) Procedimientos matemáticos: Uso de procedimientos lógicos, algorítmicos, heurísticos, etc.

d) Ficha de valoración: Se armará con la colaboración de los alumnos.

e) Acreditación: Se logrará por la aprobación de las producciones de (a) y (b).

f) Momento de Acreditación: En las fechas previstas por el Instituto.