INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE Y TÉCNICA

	Sign In Sign-Up

INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE Y TÉCNICA

“CIUDAD DEMERCEDES” - D.I.E.G.E.P. 4494

SECCIÓN: PROFESORADO DE MATEMÁTICA.

ESPACIO DE LA ORIENTACIÓN AREAL: ANÁLISIS MATEMÁTICO I

ASIGNACIÓN HORARIA: 192 hs. reloj anuales.

CURSO: SEGUNDO AÑO.

PROFESOR: BORRAJO, HERNÁN; BLAUZWIRN, ANA.

PERÍODO LECTIVO: 2003.

EXPECTATIVAS DE LOGRO:

1) Comprensión de los conceptos de límite, continuidad y derivación. 2) Comprensión del concepto de integración. 3) Ejemplificación y aplicación de principios y/o generalizaciones. 4) Representación de fórmulas matemáticas por medio de gráficos. 5) Reconocimiento de la inadecuación de conclusiones extraídas de datos precarios o falsos. 6) Aplicación y valoración del uso de los conceptos del análisis matemático en la resolución de problemas geométricos. 7) Resolución de problemas del cálculo diferencial e integral de funciones de una variable, identificando sus orígenes y reconociendo la importancia de sus aplicaciones a otras ciencias. 8) Comprensión del papel del recurso informático en el análisis matemático, basado en la liberación de la carga del cálculo mecánico/repetitivo y en la dedicación al análisis de situaciones verdaderamente problemáticas. 9) Comprensión del papel de Internet como una de las Nuevas Tecnologías de la Información y de la Comunicación (NTIC) que pueden ayudar a los alumnos a recabar información que no encuentren ni en la biblioteca del Instituto ni en la bibliografía propuesta.

CONTENIDOS CONCEPTUALES:

UNIDAD UNO: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Revisión de conceptos previos: Números reales; variables y constantes; función; dominio e imagen; clasificación de funciones; formas de representación; coordenadas polares; función compuesta; función inversa; sucesiones. Límite de una sucesión. Ejemplos. Teorema de Bolzano Weierstrass. Límite de una función. Función que tiende al infinito. Funciones acotadas. Infinitésimos y sus propiedades. Teoremas sobre límites. Límite de Sen(x)/x cuando "x" tiende a cero. El número "e". Logaritmos naturales. Cambio de base. Límites indeterminados. Continuidad de las funciones en un punto y en un intervalo. Algunas propiedades de las funciones continuas. Teoremas sobre funciones continuas. Continuidad uniforme. Discontinuidades. Clasificación de las discontinuidades. Ejemplos.

BIBLIOGRAFÍA: a) De consulta obligatoria: · Piskunov, N.: "Cálculo diferencial e integral" - Tomo I - Fondo Editorial Suramérica (Bogotá) - 1990. · Rey Pastor, Pi Calleja, Trejo: "Análisis Matemático" - Vol. I - Editorial Kapelusz (Bs.As.) - 1986. · Granville, Longley, Smith: "Cálculo diferencial e integral" - Ed. Uteha (México) - 1994.

b) De consulta facultativa: · Spivak, M.: "Calculus - Cálculo infinitesimal" - Ed. Reverté (México) - 1998.

UNIDAD DOS: DERIVADAS I

Definición de derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Función derivada. Derivadas de las funciones constante e idéntica. Derivada de la suma y de la diferencia de dos funciones y del producto de una constante por una función. Derivada del logaritmo natural. Derivada de la función compuesta. Derivada de la función potencial. Derivadas sucesivas. Relaciones entre continuidad y derivación. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Condición suficiente: Criterio del cambio de signo de f'(x); criterio de la derivada segunda. Noción de concavidad y de punto de inflexión. Estudio de funciones polinómicas. Problemas de optimización.

UNIDAD TRES: DERIVADAS II

Derivadas del producto y del cociente de dos o más funciones. Derivadas de las funciones circulares. Derivada de la función exponencial y de las funciones hiperbólicas. Derivación de funciones inversas. Derivadas de las funciones circulares inversas y de las funciones hiperbólicas inversas. Extremos relativos y absolutos de funciones escalares en general. Concavidad y punto de inflexión. Problemas de optimización. Derivación de funciones implícitas. Diferenciales. Definición e interpretación geométrica. Aplicaciones.

UNIDAD CUATRO: PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Teorema sobre las raíces de la derivada (Rolle). Teorema de los incrementos finitos (Lagrange). Teorema sobre la razón de los incrementos de dos funciones (Cauchy). Cálculo de límites indeterminados: Regla de Bernoulli (Forma 0/0). Extensión a la forma Infinito/Infinito. Aplicación reiterada.Formas especiales derivadas de la anteriores. Fórmula de Taylor: Deducción. Fórmula del término complementario: Deducción y aplicación a la acotación del error. Desarrollo de funciones trascendentes. Aplicaciones.

UNIDAD CINCO: INTEGRACIÓN INDEFINIDA

Definición y propiedades. Integración inmediata. Métodos de integración: Sustitución, partes, descomposición en fracciones simples, integración de funciones trigonométricas y de funciones irracionales.

UNIDAD SEIS: INTEGRALES DEFINIDAS

Definición y propiedades. Teorema del valor medio del cálculo integral. Función integral. Teorema fundamental del cálculo integral. Teorema de Barrow. Cálculo de áreas de recintos no poligonales. Área entre dos curvas. Rectificación de arcos. Áreas de superficies de revolución. Volúmenes de sólidos de revolución.

UNIDAD SIETE: SERIES NUMÉRICAS Y DE FUNCIONES

Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor. Aproximación de funciones. Series numéricas: Concepto. Convergencia. Series geométricas. Álgebra de series. Condición necesaria de convergencia. Serie geométrica. Álgebra de series. Condición necesaria de convergencia. Series de términos positivos. El criterio de la integral y las p-series. Serie armónica. Criterios de comparación. Los criterios del cociente y de la raíz. Series alternadas. Criterio de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional. Series de potencias. Intervalos de convergencia. Representación de funciones por series de potencias. Series de Taylor y de Mac Laurin.

UNIDAD OCHO: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

a) Nociones de geometría analítica en R3:

Planos y rectas en R3. Representaciones gráficas en R3. Superficies cilíndricas y superficies cuádricas.

b) Campos escalares. Funciones de dos o más variables:

Funciones de dos variables. Determinación del dominio. Curvas y superficies de nivel. Límite funcional doble: Definición y propiedades. Generalización del concepto de límite. Límites sucesivos o reiterados. Límites en una dirección y por curvas. Funciones continuas. Propiedades.

BIBLIOGRAFÍA: a) De consulta obligatoria: · Piskunov, N.: "Cálculo diferencial e integral" - Tomo I - Fondo Editorial Suramérica (Bogotá) - 1990. · Rey Pastor, Pi Calleja, Trejo: "Análisis Matemático" - Vol. II - Editorial Kapelusz (Bs.As.) - 1986. · Granville, Longley, Smith: "Cálculo diferencial e integral" - Ed. Uteha (México) - 1994.

b) De consulta facultativa:

· Spivak, M.: "Calculus - Cálculo infinitesimal" - Ed. Reverté (México) - 1998.

CONTENIDOS PROCEDIMENTALES:

* Cálculo de límites de acuerdo a la definición y/o a las propiedades. * Operaciones con funciones continuas. * Identificación de puntos de discontinuidad. * Cálculo de derivadas y de diferenciales de funciones directas e inversas. * Estudio completo de funciones de una variable real. * Cálculo de límites indeterminados utilizando propiedades de funciones derivables. * Cálculo de integrales indefinidas y definidas. * Estudio del comportamiento de una serie. * Aproximación de funciones mediante series. * Utilización del software educativo. * Selección de los métodos más adecuados para la resolución de problemas. * Modelización de situaciones problemáticas expresando las condiciones como ecuaciones o sistemas de ecuaciones o inecuaciones, con intervención de derivadas, diferenciales o integrales. * Investigación y demostración de propiedades de funciones de una y de varias variables. * Utilización del software educativo para el aprendizaje de conceptos del análisis matemático y para resolución de problemas diversos. * Análisis de videos educativos sobre temas de análisis matemático. * Uso de Internet como medio de consulta sobre temas de análisis matemático y de búsqueda de software educativo.

CONTENIDOS ACTITUDINALES:

* Reflexión sobre el propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente. * Consideración de la provisoriedad y evolución de los saberes. * Capacidad autónoma para resolver sus propios problemas. * Adaptación a los cambios de la ciencia y la cultura. * Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsqueda. * Curiosidad, apertura y duda. * Gusto por estrategias personales para resolver problemas. * Valoración de la matemática como construcción humana desde la invención empírica a lo formal. * Valoración de la historia y de sus creadores como toma de conciencia de la dependencia del momento, circunstacias sociales, ambientales, prejuicios, etc. que participaron en el desarrollo de la matemática. * Compromiso.

PRESUPUESTO DE TIEMPO:

PRIMER CUATRIMESTRE: Se desarrollarán las cuatro primeras unidades.

SEGUNDO CUATRIMESTRE: Se desarrollarán las cuatro últimas unidades.

ACTIVIDADES DE LOS ALUMNOS:

* Resolución de problemas. * Exposición de temas. * Elaboración de informes de clase en la computadora. * Elaboración de trabajos prácticos.

* Confección de mapas y redes conceptuales.

UTILITARIOS (SOFTWARE) MATEMÁTICO:

DE CONSULTA OBLIGATORIA: a) Un programa de cálculo simbólico para WINDOWS del tipo de "MATHEMATICA" ( Wolfram International - 1994 o posterior )

DE CONSULTA FACULTATIVA: a) Un programa de cálculo numérico para DOS del tipo de "EUREKA" (Borland Inc. - 1984) b) Un programa de cálculo simbólico para WINDOWS del tipo de "DERIVE" (Soft Warehouse - 1996 o posterior.)

VIDEOS DE CONSULTA OBLIGATORIA:

a) M 101 - Mathematics Foundation Course : "Método de Newton - Raphson". b) M 101 - Mathematics Foundation Course : "Diseño de curvas". c) M 101 - Mathematics Foundation Course - Bloque III / Unidad 3: "Teorema fundamental del cálculo" - Producido por P. Surgey. d) M 101 - Mathematics Foundation Course: "Cálculo de áreas". e) M 101 - Mathematics Foundation Course: "Volúmenes de revolución". f) M 101 - Mathematics Foundation Course: "Superficies de revolución".

SITIOS DE INTERNET DE CONSULTA OBLIGATORIA:

* REVISTA DE MATEMATICA E INTERNET:

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/index.htm

(Director: Walter Mora - Auspiciado por el Instituto Tecnológico de Costa Rica - 2001)

EVALUACION DE LOS ALUMNOS:

a) Realización de trabajos prácticos: Al final de cada unidad, cada alumno deberá presentar un trabajo con la ejercitación propuesta resuelta. Si dicha resolución es correcta, se dará por aprobado; en caso contrario tendrá una semana para realizar su correción y volver a entregarlo. Las fechas de entrega, a convenir con los profesores, serán para todo el curso.

b) Exposición de temas teóricos: El alumno podrá elegir al menos uno por unidad; el profesor le propondrá otros, debiendo defender ambos. Si el alumno lo desea, podrá unificar los contenidos de no más de dos unidades consecutivas en cada encuentro. Cada alumno podrá convenir con los docentes las fechas en las que se presentará a cada una de estas instancias.

c) Criterios de valoración de las producciones:

c.1) Potencia matemática: Capacidad de uso de las matemáticas; capacidad de razonamiento y análisis. c.2) Resolución de problemas. c.3) Comunicación de ideas matemáticas: Capacidad de expresión; utilización del lenguaje matemático. c.4) Razonamiento: Deductivo; analítico. c.5) Reconocimiento de conceptos; propiedades; diferencias. c.6) Procedimientos matemáticos: Uso de procedimientos algorítmicos, heurísticos, etc.

d) Ficha de valoración: Se presenta en un disquette, por separado. Dicha ficha está informatizada.

e) Acreditación: Se logrará por la aprobación de las producciones de (a) y (b).

f) Momento de Acreditación: En las fechas previstas por el Instituto.